Question

【题目】已知函数.

（1）讨论在上的零点个数；

（2）当时，若存在，使，求实数的取值范围.（为自然对数的底数，其值为2.71828……）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）构造函数，先将讨论在上的零点个数问题，转化为讨论直线与曲线的交点个数问题，用导数方法研究函数单调性，求出值域，即可得出结果；

（2）根据（1）的结果，由求出零点，得到，再由题意得到成立，构造函数，用导数方法研究其单调性，进而可求出结果.

（1）由得，令，

因此讨论在上的零点个数，即是讨论直线与曲线的交点个数，

∵，在上恒成立，

故在上单调递增，，

又连续不断，所以当时，在上无零点；

当时，在上存在一个零点.

（2）当时，由（1）得在上存在一个零点，

由得，

由（1）可得在上单调递减，在上单调递增；

所以，

又存在，使成立，

所以，只需成立，即不等式成立，

令，

则，

易知在上恒成立，

故在上单调递增

又，所以.

故实数的取值范围为.