Question

【题目】已知函数（其中， ）.

（Ⅰ）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设函数的图象在两点、处的切线分别为、，若， ，且，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：由于，只考虑的情况，对函数求导研究单调性和极值，利用恒成立极值原理求出的范围；由于两点切线垂直其斜率乘积等于，利用导数的几何意义表示出斜率的关系，由于函数为分段函数，所以针对与的大小关系不同进行讨论，求出的最值.

试题解析：（Ⅰ）依题意：当， 时，

.

， ，且， .

			0
		单调递减	极小值	单调递增

函数在上的最小值为 .

要令恒成立，只需恒成立，即： 或（舍去）.

又， .

实数的取值范围是.

（Ⅱ）由可得： ，

而， .

当时，则

.

即： ，矛盾.

当时，则 .

.

， ， .

即： ，令，则（），

.

设，则.

			0
		单调递减	极小值	单调递增

函数的最小值为.实数的最小值为.