Question

（2013•闸北区二模）在xOy平面上有一系列的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对于所有正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴相切，且⊙P_n与⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，且x_n+1＜x_n．则

lim

n→∞

nxn=（　　）

A．0

B．0.2

C．0.5

D．1

Answer 1

分析：由圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切可知R_n=y_n，R_（n+1）=y_（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和进而得到

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=整理可得，

1

xn+1

-

1

xn

=2，结合等差数列的通项公式可求x_n，进而可求极限

解答：解：∵圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切，
所以，R_n=y_n，R_（n+1）=y_（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和，
即

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=y_n+y_n+1
整理可得，

1

xn+1

-

1

xn

=2
∴

1

xn

=1+2(n-1)=2n-1
∴nxn=

n

2n-1

lim

n→∞

nxn=

lim

n→∞

n

2n-1

=

1

2

故选C

点评：本题主要考查了数列在实际中的应用，解题的关键是寻求相切的性质．