Question

【题目】已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左，右焦点分别为F1，F2，上顶点和右顶点分别为B，A，线段AB的中点为D，且，△AOB的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF2N的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(x－2)2＋y2＝8.

【解析】试题分析：（1）求椭圆方程关键是求方程中的，题中有两个已知条件，由用数学式子翻译出来联立方程组可解得；（2）先考虑当直线垂直于轴时是否满足题意，如满足，求出相应圆方程，如不满足，则舍去，当直线斜率存在时，可设方程为，代入椭圆方程，由椭圆中的弦长公式求出弦长，再由点到直线距离公式求出到直线的距离，利用已知三角形面积求得，从而可得所求圆方程．

试题解析：(1)设椭圆方程为 (a＞b＞0)．由已知得A(a,0)，B(0，b)，D，

所以kOD·kAB＝，

即a2＝2b2，①

又S△AOB＝，所以，②

由①②解得a2＝8，b2＝4，

所以椭圆方程为.

(2)①当直线l⊥x轴时，易得M(－2， )，N(－2， )，△MF2N的面积为，不合题意．

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入椭圆方程得

(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.

显然有Δ＞0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

所以MN＝

＝，

化简得MN＝.

又圆的半径，

所以MN·r

＝×·

＝，

化简得k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，

所以r＝，

所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.