Question

已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．已知D是这个几何体的棱A₁C₁上的中点．
（Ⅰ）求出该几何体的体积；
（Ⅱ）求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅲ）求证：平面AB₁D⊥平面AA₁D．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三视图直接求出底面面积和高，然后求出该几何体的体积；
（Ⅱ）连接A₁B，且A₁B∩AB₁=O，要证直线BC₁∥平面AB₁D，只需证明直线BC₁平行平面AB₁D内的直线DO即可；
（Ⅲ）要证平面AB₁D⊥平面AA₁D，只需证明平面AB₁D内的直线B₁D垂直平面AA₁D即可．

解答：解：由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为

3

的正三角形，三棱柱的高h=3，
（Ⅰ）底面是高为

3

的正三角形，易知底面边长为2，所以底面面积s=

1

2

×2×

3

=

3

，
所求体积V=sh=3

3

．
（Ⅱ）连接A₁B，且A₁B∩AB₁=O，∵正三棱柱侧面是矩形，
∴点O是棱A₁B的中点（6分）
因为D为棱A₁C₁的中点．连接DO，∴DO是△A₁BC₁的中位线，∴BC₁∥DO，又DO?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，∴BC₁∥平面AB₁D．（9分）
（Ⅲ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，三角形A₁B₁C₁为正三角形，∴B₁D⊥A₁C₁．，
又由正三棱柱性质知平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，且平面A₁B₁C₁∩平面ACC₁A₁=A₁C₁，
B₁D?平面A₁B₁C₁，∴B₁D⊥平面AA₁D，（12分）又B₁D?平面AB₁D，
∴平面AB₁D⊥平面AA₁D．（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面的平行的判定，棱柱的体积，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．