Question

已知数列{a_n}满足a₁=-1，a_n+1-2a_n-3=0数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+3）．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）若数列{2ⁿ⁺¹b_n}的前n项的和为s_n，试比较s_n与8n²-4n的大小．

Answer 1

（1）由有a_n+1-2a_n-3=0，得：a_n+1+3=2（a_n+3），
∴a_n+3=（a₁+3）2^n-1=2ⁿ，
∴b_n=log₂2ⁿ=n；
（2）∵S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹①
①×2得：2S_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+n×2ⁿ⁺²②
①-②得：S_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²=

4(1-2n)

1-2

-n×2n+2，
∴S_n=4+（n-1）×2ⁿ⁺²，
∴S_n-（8n²-4n）=4+（n-1）×2ⁿ⁺²-8n²+4n=（n-1）2ⁿ⁺²-4（2n+1）（n-1）=4（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]
当n=1时，S_n-（8n²-4n）=0，即S_n=8n²-4n；
当n=2时，S_n-（8n²-4n）=4×（2²-5）=-4，即S_n＜8n²-4n；
当n=3时，S_n-（8n²-4n）=4×2×（2³-7）=8，即S_n＞8n²-4n；
当n＞3时，由指数函数的图象知总有2ⁿ＞（2n+1），
∴n＞3时，有S_n＞8n²-4n．