Question

【题目】已知动员P过定点 且与圆N： 相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，由N： 及 ，知点M在圆N内，则有 ，

从而丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2 ，

∴P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，

设曲线C的方程为： （a＞b＞0），则2a=4，a=4，c= ，

b2=a2﹣c2=1

故曲线C的轨迹方程为 ；

（Ⅱ）依题意可设直线AB的方程为x=my+3，A（x1，y1），B（x2，y2）．，

由 ，整理得：（4+m2）y2+6my+5=0，则△=36m2﹣4×5×（4+m2）＞0，即m2＞4，

解得：m＞2或m＜﹣2，

由y1+y2=﹣ ，y1y2= ，x1+x2=m（y1+y2）+6= ，

x1x2=（my1+3）（my2+3）=m2y1y2+m（y1+y2）+9= ，

假设存在定点Q（t，0），使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数，则

（x1﹣t）（x2﹣t）=x1x2﹣t（x1+x2）+t2= ﹣t× +t2= ，

∴kAQkBQ= = = ，

要使kAQkBQ为非零常数，当且仅当 ，解得t=±2，

当t=2时，常数为 = ，

当t=﹣2时，常数为 = ，

∴存在两个定点Q1（2，0）和Q2（﹣2，0），使直线AQ，BQ的斜率之积为常数，

当定点为Q1（2，0）时，常数为 ；当定点为Q2（﹣2，0）时，常数为

【解析】（Ⅰ）由题意可知丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2 ，则P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，则a=4，c= ，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，考查韦达定理，直线的斜率公式，当且仅当 ，解得t=±2，代入即可求得，定点的坐标．