Question

已知F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且

PF1

•

PF2

的取值范围是[-

4

3

，

4

3

]．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足(

CP

| CP |

+

CQ

| CQ |

)•

F1F2

=0，求证：向量

PQ

与

AB

共线．

Answer 1

分析：（I）由题意设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0）利用

PF1

•

PF2

的取值范围所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．是[-

4

3

，

4

3

]，得到a，b的方程，求解即可；
（II）有(

CP

| CP |

+

CQ

| CQ |

)•

F1F2

=0，而

CP

| CP |

+

CQ

| CQ |

与∠PCQ的平分线平行，所以∠PCQ的平分线垂直于x轴，进而建立方程，解出C点，再设出PC方程进而得到QC的方程，把它与椭圆方程联立得到直线PQ的斜率，与直线AB比较即可求证．

解答：解：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
其中c=

a2-b2

，则

PF1

=(-c，0)-(x0，y0)=(-x0-c，-y0)，

PF2

=(c，0)-(x0，y0)=(c-x 0，-y0)．
从而

PF1

•

PF2

=(-x0-c，-y0)•(c-x0，-y0)=

x

2 0

-c2+

y

2 0

=

x

2 0

+

y

2 0

-c2．
由于b2≤

x

2 0

+

y

2 0

≤a2，所以 b2-c2≤

PF1

•

PF2

≤a2-c2，
即2b2-a2≤

PF1

•

PF2

≤b2．
又已知-

4

3

≤

PF1

•

PF2

≤

4

3

，
所以

2b2-a2=- 4 3 b2= 4 3

?

a2=4 b2= 4 3 .

从而椭圆的方程是

x2

4

+

3y2

4

=1．

（Ⅱ）因为(

CP

| CP |

+

CQ

| CQ |

)•

F1F2

=0，而

CP

| CP |

+

CQ

| CQ |

与∠PCQ的平分线平行，
所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．
由

x2 4 + 3y2 4 =1 y=x

解得

x=1 y=1

∴C(1，1)．
不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为-k，
因此PC和QC的方程分别为y=k（x-1）+1，y=-k（x-1），
其中k≠0，由

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3y2 4 =1.

消去y并整理得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0（*）．
∵C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程（*）的一个根．
从而xP=

3k2-6k-1

1+3k2

，同理xQ=

3k2+6k-1

1+3k2

，
从而直线PQ的斜率为kPQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

k(xP+xQ)-2k

xP-xQ

=

k 2(3k2-1) 1+3k2 -2k

-12k 1+3k2

=

1

3

．
又知A（2，0），B（-1，-1），
所以kAB=

-1-0

-1-2

=

1

3

∴kPQ=kAB，
∴向量

PQ

与

AB

共线．

点评：（I）此问考查了设处点的坐标，把已知的向量关系的等式建立成坐标之间的关系式，还考查了椭圆的基本性质及求解时运用的方程的思想；
（II）此问考查了设出直线把椭圆方程与直线方程进行联立，利用根与系数的关系求出P与Q的坐标，还考查了直线的斜率公式．