Question

【题目】已知函数（是自然对数的底数）

（1）若直线为曲线的一条切线，求实数的值；

（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；

（3）设，若在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】试题分析：

（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在恒成立求解可得的范围．（3）由题意得，令，然后对实数的取值进行分类讨论，并根据的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数的单调性，进而得到函数有极值时实数的取值范围．

试题解析：

（1）设切点，则（*）

又

，代入（*）得

．

（2）设，

当单调递增时，

则在上恒成立，

∴ 在上恒成立，

又

解得．

当单调递减时，

则在上恒成立，

∴在上恒成立，

综上单调时的取值范围为．

（3），

令则，

当时， ， 单调递增，

∴，即.

1）当，即时，

∴，

则单调递增，

在上无极值点．

2）当即时，

∴

I）当，即时，

在递增，

，

在上递增，

在上无极值点．

II）当时，由

在递减， 递增，

又

使得

在上单调递减，在上单调递增，

在上有一个极小值点．

3）当时， ，

在上单调递减，在上单调递增，

又，

在上恒成立，

无极值点．

4）当时，

在递增，

使得，

当时， 当时， ，

，

，

令，

下面证明，即证，

又

，

即证，所以结论成立，即，

在递减， 递增，

为的极小值.

综上当或时， 在上有极值点．