Question

【题目】已知抛物线的标准方程为， 为抛物线上一动点， （）为其对称轴上一点，直线与抛物线的另一个交点为．当为抛物线的焦点且直线与其对称轴垂直时， 的面积为18．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）记，若值与点位置无关，则称此时的点为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的标准方程为；（2）时， 与无关.

【解析】试题分析：（1）由已知为通径，因此，由可求得；（2）定点问题处理，设，设直线的方程为，代入抛物线方程，由韦达定理得，计算 ，按和分类后讨论可得取特定值时与无关，即为稳定点．

试题解析：（1）由题意， ，∴，

抛物线的标准方程为

（2）设，

设直线的方程为，联立得，

∴， ，

由对称性，不妨设，

①时，∵，∴同号，

又，

∴，

不论取何值， 均与有关，即， 不是“稳定点”；

②时，∵，∴异号．

又，

∴，

∴仅当，即时， 与无关，稳定点为