Question

（本题满分12分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x²＝4y相切于点A.

(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

Answer 1

(1) b＝－1.(2) (x－2)²＋(y－1)²＝4.

解析试题分析：(1)由得x²－4x－4b＝0，(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)²－4×(－4b)＝0，解得b＝－1. ……5分
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x²－4x＋4＝0.
解得x＝2，代入x²＝4y，得y＝1，故点A(2,1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线
y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2， ……10分
所以圆A的方程为(x－2)²＋(y－1)²＝4. ……12分
考点：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系。
点评：容易题，研究直线与抛物线只有一个公共点，除判别式为0，还要考虑直线与抛物线轴平行的情况，以免失解。