Question

已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（1）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ₁+λ₂为定值．
（3）直线l交椭圆C₂于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P'、Q'，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C₂上．

Answer 1

（1）解：由C₁：y²=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x²+y²=1上得：，
∴p=2
∴抛物线C₁：y²=4x
同理由椭圆C₂：的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣b，0），（b，0）均在圆O：x²+y²=1上可解得：b=c=1，a=
∴椭圆C₂：
（2）证明：设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则N（0，﹣k）直线与抛物线联立，消元可得
k²x²﹣（2k²+4）x+k²=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=1
∵
∴λ₁（1﹣x₁）=x₁，λ₂（1﹣x₂）=x₂
∴，
∴λ₁+λ₂=为定值；
（3）证明：设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则P'（x₃，0），Q'（x₄，0），
∵，
∴S（x₃+x₄，y₃+y₄）
∵
∴2x₃x₄+y₃y₄=﹣1①
∵P，Q在椭圆上，
∴②，
③
由①+②+③得（x₃+x₄）²+=1
∴点S在椭圆C₂上