Question

已知圆C₁：（x-4）²+y²=1，圆C₂：x²+（y-2）²=1，则C₁，C₂关于直线l对称．
（1）求直线l的方程；
（2）直线l上是否存在点Q，使Q点到A（-2

2

，0）点的距离减去Q点到B（2

2

，O）点的距离的差为4，如果存在求出Q点坐标，如果不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用C₁，C₂关于直线l对称，可得直线l上点到C₁，C₂的距离相等，建立方程，化简可得结论；       
（2）根据点Q到点A（-2

2

，0）点的距离减去Q点到B（2

2

，O）的距离的差为4，可得Q的方程，与直线l：y=2x-3联立，利用判别式可得结论．

解答：解：（1）圆C₁：（x-4）²+y²=1的圆心坐标为（4，0），圆C₂：x²+（y-2）²=1的圆心坐标为（0，2）
设直线l上的坐标为P（x，y），则
∵C₁，C₂关于直线l对称，∴|PC₁|=|PC₂|，
∴

(x-4)2+y2

=

x2+(y-2)2

化简得：y=2x-3
因此直线l的方程是y=2x-3；       
（2）假设这样的Q点存在，因为点Q到A（-2

2

，0）点的距离减去Q点到B（2

2

，O）的距离的差为4，
所以Q点在以A（-2

2

，0）和（2

2

，O）为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，
即Q点在曲线

x2

4

-

y2

4

=1（x≥2）上，
∵Q点在直线l：y=2x-3上
∴代入曲线方程可得3x²-12x+13=0
∴△=12²-4×3×13＜0，方程组无解，
∴直线l上不存在满足条件的点Q．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．