Question

【题目】已知是圆上的一个动点，过点作两条直线，它们与椭圆都只有一个公共点，且分别交圆于点.

（Ⅰ）若，求直线的方程；

（Ⅱ）①求证：对于圆上的任意点，都有成立；

②求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）①证明见解析；②.

【解析】

（Ⅰ）设出直线方程，代入椭圆方程,利用直线与椭圆都只有一个公共点,求出直线的斜率,即可求直线的方程；（Ⅱ）①分类讨论,斜率不存在时成立，斜率存在时，利用判别式等于零可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得成立，即可证得结论；②记原点到直线的距离分别为，可得，设面积为，可得，利用二次函数的性质可求其取值范围.

（Ⅰ）设直线的方程为,

代入椭圆，消去，

可得，
由,可得，
设的斜率分别为，
直线的方程分别为；
（Ⅱ）①证明:当直线的斜率有一条不存在时,不妨设无斜率
与椭圆只有一个公共点,所以其方程为,
当的方程为时，此时与圆的交点坐标为，

的方程为(或，成立，
同理可证，当的方程为时，结论成立;
当直线的斜率都存在时,设点且，
设方程为,代入椭圆方程，

可得，

由化简整理得，
，，
设的斜率分别为，

成立，
综上,对于圆上的任意点，都有成立；
②记原点到直线的距离分别为，

因为，所以是圆的直径，

所以，

面积为，，

，
.