【题目】已知函数
.
（1）若函数
在点
处切线的斜率为4，求实数
的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数
在
上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）6；（2）单调递减区间是
，单调递增区间是
；（3）
【解析】
（1）利用导数的几何意义得到
，从而求出a的值.(2)对a分类讨论，利用导数求函数的单调区间.(3)先转化为
在
上恒成立，再化为
在上恒成立，再求
在上的最大值即得a的取值范围.
（1）
，而，即
，解得
.
（2）函数
的定义域为
.
①当
时，
，的单调递增区间为；
②当
时，
.
当
变化时，
的变化情况如下:
由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3）
，于是
.
因为函数
在上是减函数，所以在上恒成立，
即
在上恒成立.
又因为函数的定义域为，所以有
在[上恒成立.
于是有，设
，则
，所以有
，，
当
时，
有最大值
，于是要使
在上恒成立，只需
，
即实数
的取值范围是
.
孟建平名校考卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在试验E“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件
表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，
（1）试用样本点表示事件
与
；
（2）试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；
（3）试用事件表示随机事件A.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知顶点是坐标原点的抛物线
的焦点
在
轴正半轴上，圆心在直线
上的圆
与
轴相切，且
关于点
对称．
（1）求和
的标准方程；
（2）过点
的直线
与交于
，与交于
，求证：
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数）.在以原点
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于
两点，求
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对2017 年成交的二手车的交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到如图1所示的频率分布直方图，在图1对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率.
（1）若在该交易市场随机选取3辆2017年成交的二手车，求恰有2辆使用年限在
的概率；
（2）根据该汽车交易市场往年的数据，得到图2所示的散点图，其中
(单位：年)表示二手车的使用时间，
（单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格.
①由散点图判断，可采用作为该交易市场二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表(表中
)：
试选用表中数据，求出关于的回归方程；
②该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择.
甲：对每辆二手车统—收取成交价格的
的佣金；
乙：对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的
的佣金，对使用时间8年以上（不含 8年)的二手车收取成交价格的
的佣金.
假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图表1，并用,各时间组的区间中点值代表该组的各个值.判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金.
附注：
于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
；
②参考数据：
，
.
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