Question

【题目】如图，在三棱锥中， ， ， ， ．

（Ⅰ）求证；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略，（Ⅱ） ，（Ⅲ）

【解析】解法一

（Ⅰ）取中点，连结．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）， ，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中点．连结．

， ．

是在平面内的射影，

．

是二面角的平面角．

在中， ， ， ，

．

二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

过作，垂足为．

平面平面，

平面．

的长即为点到平面的距离．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．

平面，

．

在中， ， ，

．

．

点到平面的距离为．

解法二

（Ⅰ）， ，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则．

设．

，

， ．

取中点，连结．

， ，

， ．

是二面角的平面角．

， ， ，

．

二面角的大小为．

（Ⅲ），

在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．

如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．

，

点的坐标为．

．

点到平面的距离为．