Question

【题目】已知函数f（x）=bax（a＞0，且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）设g（x）= ﹣ ，确定函数g（x）的奇偶性；
（2）若对任意x∈（﹣∞，1]，不等式（ ）x≥2m+1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=bax（a＞0，且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，6），B（3，24），

∴ ，解得：a=2，b=3，

∴f（x）=32x，

又g（x）= ﹣ = ﹣ ，

∴g（x）+g（﹣x）= + ﹣ ×2= + ﹣ = ﹣ =0，

∴g（﹣x）=﹣g（x），

∴函数g（x）为奇函数

（2）解：由（1）知，a=2，b=3，

∴对任意x∈（﹣∞，1]，不等式（ ）x≥2m+1恒成立2m+1≤[ ]min，x∈（﹣∞，1]，

∵y= 为减函数，

∴当x∈（﹣∞，1]时，[ ]min= = ，

∴2m+1≤ ，

∴m≤﹣ ，

即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣ ]

【解析】（1）依题意，可得 ，解得：a=2，b=3，即f（x）=32x ， 故g（x）= ﹣ = ﹣ ，利用g（x）+g（﹣x）=0可确定函数g（x）的奇偶性；（2）任意x∈（﹣∞，1]，不等式（ ）x≥2m+1恒成立2m+1≤[ ]min ， x∈（﹣∞，1]，利用指数函数的单调性可求得当x∈（﹣∞，1]时，[ ]min= = ，从而可求实数m的取值范围．