Question

（12分）已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（2）若对于都有成立，试求的取值范围；

（3）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）的单调增区间是,单调减区间是（2）

（3）

【解析】

试题分析：(1)由题意知直线的斜率为1.

函数的定义域为，，

所以，所以.

所以， .

由解得；由解得.

所以的单调增区间是,单调减区间是.                      ……4分

(2) ，由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

所以当时，函数取得最小值，.

因为对于都有成立，所以即可.

则. 由解得.  

所以的范围是                                                  ……8分

(3)依题得，则.

由解得；由解得.

所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数.

又因为函数在区间上有两个零点，所以

解得.所以的取值范围是                   ……12分

考点：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数求单调区间、已知单调性求参数的取值范围以及函数的零点个数问题，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用以及运算求解能力.

点评：导数是研究函数性质尤其是单调性的重要工具，研究函数的性质时不要忘记求函数的定义域，在定义域范围内求解；第（3）问函数的零点问题要结合函数的图象进行转化.