Question

已知F₁、F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦点，点P是双曲线C上的动点，若PF₁=2PF₂，∠F₁PF₂=60°，则双曲线C的离心率为

3

．

Answer 1

分析：根据题设条件，利用余弦定理能够求出|PF|=

2 3

3

c，再由双曲线定义可以推导出c=

3

a，从而求出该双曲线的离心率．

解答：解：设|PF₁|=2x，|PF₂|=x，|F₁F₂|=2c，
∵∠F₁PF₂=60°，
∴cos60°=

(2x)2+x2-(2c)2

2•2x•x

=

1

2

⇒x=

2 3

3

c；
∴|PF₁|=2×

2 3

3

c；|PF₂|=

2 3

3

c；
∵|PF₁|-|PF₂|=2a
∴c=

3

a．
∴e=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题主要考察栓曲线的基本性质，借助余弦定理解决圆锥曲线问题是解决高考试题的一种常规方法．