Question

【题目】已知椭圆的焦距为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆与轴正半轴的交点，上是否存在两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明满足条件的的个数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，3个

【解析】

（1）根据题意列出方程组，解方程组即可.

（2）首先设所在直线的方程为，直线所在的方程为.联立直线方程和椭圆方程，解方程求得的坐标，同理求出的坐标.根据，解方程即可求出的值，再讨论的值，即可判断符合三角形的个数.

（1）由题，解得，.

所以椭圆的方程为.

（2）存在，理由如下：

由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，

故可设所在直线的方程为，

不妨设，则直线所在的方程为.

联立方程消去，并整理得，

解得，

将代入可得，

所以点的坐标为.

所以.

同理可得，

由，得，

所以，则，

解得或.

当斜率时，斜率；

当斜率时，斜率；

当斜率时，斜率.

综上所述，符合条件的三角形有3个.