Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1、，AP＝2，E、F依次是PB、PC的中点．

(1)求证：PB⊥平面AEFD；

(2)求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由PA⊥平面ABCD，得AD⊥PA，结合AD⊥AB，得AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB，由PB与平面ABCD所成角的正切值为1，可得AB=AP，最后根据△PAB中，中线AE⊥PB且AE、AD是平面AEFD内的相交直线，证出PB⊥平面AEFD；（2）根据PD与平面ABCD所成角的正切值是，即可求得AD，取PA中点G，CD中点H，连接EG、GH、GD，证明∠HGD即为直线EC与平面PAD所成的角，求出GH，即可求出直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形

∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB 因为PA⊥平面ABCD，

故得到PD与平面ABCD所成角为角PBA，正切值为1，故得到AB=AP；

∵E是PB的中点，AB=AP，∴AE⊥PB

∵AB∩AE=A，

∴PB⊥平面AEFD

（2）因为PA⊥平面ABCD， PD与平面ABCD所成角的正切值是，即角PDA的正切值为，故得到 进而得到AD=4,

∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，

又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

取PA中点G，CD中点H，连接EG、GH、GD，

则EG∥AB∥CD且，

∴EGHC是平行四边形，∴EC∥HG

∴∠HGD即为直线EC与平面PAD所成的角

在Rt△GAD中， ,故得到，，

∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为