Question

【题目】已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由题意可得（），分类讨论可得当时，在上单调递减； 当时，在上，单调递增；在上，单调递减.

（2）由题意可得（），切线放缩可得，分类讨论和两种情况可得实数的取值范围．

（1）由题知（），

①当时，恒有，得在上单调递减；

②当时，由，得，在上，有，单调递增；

在上，有，单调递减.

（2）由题知 （），

由时，恒有，知 ，

①当，即时，恒成立，即在上单调递增，

（合题意）；

②当时，即时，此时导函数有正有负，且有，

由，得，且在上单调递增，

当时， ，， ，，

故在上存在唯一的零点，当时，，

即在上递减，此时，知在上递减，

此时与已知矛盾（不合题意）；

综合上述：满足条件的实数的取值范围．