Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点（0，1），离心率e=

3

2

．
（l）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点（0，1）代入椭圆方程求得a和b的关系，利用离心率求得a和c的关系，进而联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得
（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出A，B的坐标，则A′的坐标可推断出，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而可表示出A′B的直线方程，把y=0代入求得x的表达式，把x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入求得x=4，进而可推断出直线A′B与x轴交于定点（4，0）．

解答：解：（1）依题意可得

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1．
所以，椭圆C的方程是

x2

4

+y2=1；
（2）由

x2 4 +y2=1 x=my+1

得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则A′（x₁，-y₁）．
且y1+y2=-

2m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

．
经过点A′（x₁，-y₁），
B（x₂，y₂）的直线方程为

y+y1

y2+y1

=

x-x1

x2-x1

．
令y=0，则x=

x2-x1

y2+y1

y1+x1=

(x2-x1)y1+x1(y1+y2)

y1+y2

=

x2y1+x1y2

y1+y2

又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．∴当y=0时，x=

(my2+1)y1+(my1+1)y2

y1+y2

=

2my1y2+(y1+y2)

y1+y2

=

- 6m m2+4 - 2m m2+4

- 2m m2+4

=4
这说明，直线A′B与x轴交于定点（4，0）．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．考查了学生基础知识的综合运用．