Question

已知圆（x-3）²+（y+4）²=4和直线y=kx相交于P，Q两点，O为坐标原点，则|OP|•|OQ|的值为（　　）

• A．

  21

  1+k2

• B．1+k²
• C．4
• D．21

Answer 1

分析：设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），将直线方程与圆的方程联解消去y，整理得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系算出x₁x₂用k表示的式子，进而得到y₁y₂用k表示的式子，再利用向量数量积公式加以计算，可得答案．

解答：解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

(x-3)2+(y+4)2=4 y=kx

消去y，整理得（k²+1）x²+（8k-6）x+21=0，
∴x₁+x₂=

-8k+6

k2+1

，x₁x₂=

21

k2+1

．
由此可得y₁y₂=kx₁•kx₂=k²x₁x₂，
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂=（1+k²）•

21

k2+1

=21．
∵

OP

与

OQ

共线同向，∴|OP|•|OQ|=

OP

•

OQ

=21．
故选：D

点评：本题考查了直线与圆的关系、平面向量数量积的运算及其性质，属于中档题．同时考查了数学转化思想和整体运算思想，在直线和圆的交点问题常采用设而不求的方法，使问题迎刃而解．