Question

【题目】已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点到椭圆两焦点距离之和为，如图，为坐标原点，平行与的直线l交椭圆于不同的两点、．

（1）求椭圆方程；

（2）若的横坐标为，求面积的最大值；

（3）当在第一象限时，直线，交x轴于，，若PE＝PF，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）面积的最大值为2（3）点坐标为

【解析】

（1）由题得，，解方程即得椭圆的方程；（2）设直线为，先求出，点到直线的距离，即得；（3）设点的坐标为，，，

根据得到，又，解方程组即得解.

（1）因为椭圆上一点到两焦点距离之和为，所以，即．

又因为椭圆的离心率为，所以，所以，

，所以椭圆方程为．

（2）设点，，

的横坐标代入，解得的纵坐标为，

所以直线的斜率为1，因为，

所以设直线为，联立，得，

，解得，

，，

所以，

点到直线的距离

，

当时取得等号，

所以面积的最大值为2．

（3）设点的坐标为，，，所以，即

则，设直线，联立，

整理得，

所以，，

因为，所以，，

所以，

化简得，

把，代入上式，化简得，

∵，，所以，，因此点坐标为．