Question

【题目】已知椭圆C:l(a>b>0)经过点(,1),且离心率e.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l与椭圆C相交于AB两点,且满足∠AOB=90°(O为坐标原点),求|AB|的取值范围.

Answer 1

【答案】(1);(2)[,2].

【解析】

（1）点的坐标代入可得一个关系式，离心率得，结合可求得，得椭圆方程；

（2）当直线l的斜率不存在时, 设直线l为:x=m,代入计算，当直线的斜率存在时,设直线为:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入椭圆中整理，由韦达定理得，代入得出的关系，计算，用换元法转化为求二次函数的取值范围得出结论．

(1)由题意:e,1,a2=b2+c2,解得:a2=8,b2=4,所以椭圆的方程为:;

(2)当直线l的斜率不存在时,设直线l为:x=m,A(x,y),B(,),代入椭中:y2=4(1),

∠AOB=90°,∴0,∴x+y=m2﹣4(1)=0,∴m2,

∴|AB|=|y﹣|=4;

当直线的斜率存在时,设直线为:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入椭圆中整理得:

(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,

x+,x,=k2xx'+km(x+)+m2,

∵∠AOB=90°,∴x+y=0,∴2m2﹣8+m2﹣8k2=0,∴3m2=8+8k2,

|AB|,

令t∈(0,1],所以|AB|,

当t,g(t)=1(t2﹣t)最大为 ,t=1时,g(t)取得最小值1,

综上所述:|AB|的取值范围[,2].