Question

P、Q、M、N四点都在椭圆x²+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。己知与共线， 与共线，且?=0。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。

Answer 1

解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），

故PQ方程为

将此式代入椭圆方程得

      

设P、Q两点的坐标分别为，则

，

从而 |

                           

亦即  

（i）当时，MN的斜率为，同上可推得

             

故四边形面积

              

                

                                                 

令，得

         

因为 ,

当时，,

且是以为自变量的增函数，

所以                                 

（ii）当时，MN为椭圆长轴，，

       

综合（i），（ii）知，四边形PMQN面积的最大值为，最小值为。