Question

已知数列{a_n}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，即可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，①
∴当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=

n-1

2

，②
①-②得，2n-1an=

1

2

，∴an=

1

2n

(n≥2)，③
又∵a1=

1

2

也适合③式，∴an=

1

2n

(n∈N*)．
（2）由（1）知bn=(2n-1)•

1

2n

，∴Sn=1•

1

2

+3•

1

22

+5•

1

23

+…+(2n-1)•

1

2n

，④

1

2

Sn=1•

1

22

+3•

1

23

+5•

1

24

+…+(2n-1)•

1

2n+1

，⑤
④-⑤得，

1

2

Sn=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

)-(2n-1)•

1

2n+1

=

1

2

+2•

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(2n-1)•

1

2n+1

=

1

2

+1-

1

2n-1

-(2n-1)•

1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴S_n=3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，正确运用错位相减法是解题的关键．