Question

【题目】已知椭圆的短轴长为，椭圆上任意一点到右焦点距 离的最大值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点满足（为坐标原点），求四边形面积的最大值，并求此时的直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）面积的最大值为2，,直线的方程为

【解析】试题分析：

(1)由几何关系可得椭圆方程为；

(2)直线斜率不存在时不满足题意，当直线斜率存在时，面积函数，注意等号成立的条件.

试题解析：

（Ⅰ）椭圆方程为

（Ⅱ）因为，所以四边形OANB为平行四边形，

当直线的斜率不存在时显然不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆交于两点，由得

由，得

令，则（由上可知），

当且仅当即时取等号；

当平行四边形OANB面积的最大值为

此时直线的方程为