Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为面ADD₁A₁的中心，Q为DCC₁D₁的中心，则向量

PB

，

QA1

夹角的余弦值为（　　）

• A、

  6

  6

• B、-

  6

  6

• C、

  1

  6

• D、-

  1

  6

Answer 1

分析：建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出向量

PB

，

QA1

的坐标表示，利用夹角公式向量夹角的余弦值．

解答：解：设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系如图：
则：B（2，2，0），A₁（2，0，2），P（1，0，1），Q（0，1，1），
∴

PB

=（1，2，-1）；

QA1

=（2，-1，1），
∴cos＜

PB

，

A1Q

＞=

PB • A1Q

| PB || A1Q |

=

2-2-1

6 × 6

=-

1

6

，
∴向量

PB

，

QA1

夹角的余弦值为-

1

6

．
故选D．

点评：本题考查了用向量的坐标运算求向量夹角的余弦值，考查了学生的运算能力；向量法求异面直线所成的角的余弦值，是求异面直线所成角的常用方法之一，要熟练掌握．