Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（﹣x）+f（x+3）=0；当x∈（0，3）时，f（x）= ，其中e是自然对数的底数，且e≈2.72，则方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的个数为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7

Answer 1

【答案】C
【解析】解：当x＞0时，f（﹣x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=﹣f（﹣x），
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）的周期为3，
当x∈（0，3）时，f（x）= ，∴f′（x）= ，
∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，
在[0，9]上作出y=f（x）的图象，作出y= 的图象，如图所示

∴在[0，9]上，有3个交点，由对称性，可得方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的个数为6，
故选：C．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)．