Question

【题目】已知在正项数列中，首项，点在双曲线上，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和．

（1）求数列、的通项公式；

（2）若，求证： 数列为递减数列．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由题意可得﹣＝1，即数列{}是等差数列，同样Tnbn+1，利用两式作差即可得到的通项公式；

（2）根据（1）求得{an}的通项公式和数列{bn}的通项公式，进而可得{cn}的通项公式，进而可得cn+1﹣cn的表达式，根据表达式小于零，原式得证．

解：（1）由已知点An（，）在曲线y2﹣x2＝1上知﹣＝1．

所以数列{}是一个以2为首项，公差为1的等差数列，

所以＝+（n﹣1）d＝2+n﹣1＝n+1，

点（bn，Tn）在直线yx+1上，所以Tnbn+1①

Tn﹣1bn﹣1+1②

两式相减得bnbnbn﹣1

∴bnbn﹣1

令n＝1得b1b1+1所以b1．

所以数列{bn}是以为首项，以为公比的等比数列，

所以bn（）n﹣1；

（2）证明：cn＝anbn＝（n+1），

所以cn+1﹣cn＝（n+2）（n+1）

[（n+2）﹣3（n+1）]

（n+2﹣3n﹣3）

（﹣2n﹣1）＜0

故cn+1＜cn．

∴数列为递减数列．