Question

【题目】设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≥ 对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）≤x+2得：

或 或 ，

即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈，

解得0≤x≤2，

所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]

（2）解： =|1+ |﹣|2﹣ |≤|1+ +2﹣ |=3，

当且仅当（1+ ）（2﹣ ）≤0时，取等号．

由不等式f（x）≥ 对任意实数a≠0恒成立，

可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即 或 或 ，

解得x≤﹣ 或x≥ ，

故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）

【解析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．