Question

【题目】已知函数．

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数单调递增区间；

（3）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）求导得，又切线方程为；（2）由（1）得在上是增函数，又不等式的解集为故函数的单调增区间为；（3）将原命题转化为当时，只要即可．再利用导数工具，结合分类讨论思想和数形结合思想求得的取值范围为．

试题解析：（1）因为函数，

所以，，

又因为，所以函数在点处的切线方程为．

（2）由（1），，

因为当，时，总有在上是增函数，

又，所以不等式的解集为，

故函数的单调增区间为．

（3）因为存在，使得成立，

而当时，，

所以只要即可．

又因为，，的变化情况如下表所示：

所以在上是减函数，在上是增函数，

所以当时，的最小值，

的最大值为和中的最大值．

因为，

令，因为，

所以在上是增函数．

而，故当时，，即；

当时，，即．

所以，当时，，即，

函数在上是减函数，解得．

当时，，即，

函数在上是减函数，解得．

综上可知，所求的取值范围为．