Question

已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F(c，0)(c＞0)，右准线为，|AF|＝3．过点F作直线交双曲线的右支于P，Q两点，延长PB交右准线l于M点．

(Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)若，求△PBQ的面积S；

(Ⅲ)(理)若(λ≠0，λ≠－1)，问是否存在实数μ＝f(λ)，使得：．若存在，求出μ＝f(λ)的表达式；若不存在，请说明理由．

(文)若，问是否存在实数μ，使得：．若存在，求出μ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由题意知，则双曲线方程为：． (Ⅱ)设，易得，F(2，0)，A(－1，0)，B(1，0)，右准线，当PQ垂直于x轴时，不合题意， 可设PQ方程为：y＝k(x－2)． 代入双曲线方程可得：， 由于P、Q都在双曲线的右支上，所以， ． ∴， 由于＝＝， 由·＝－17可得：， 由此，，， ∴， ∴ (Ⅲ)(理)存在实数μ满足题设条件． ∵PB的直线方程为：，令得， 即， ∵＝λ， ∴， 即 又∵ 把③④代入②得：　　　　　　⑤ 由①⑤得：，，又∵＝． ∴ ， 令， ∴． 故存在实数μ，满足题设条件． (文)存在实数μ，满足题设条件， ∵PB的直线方程为：，令得， 即， ∵＝2， ∴， 即 又∵ 把③④代入②得：，　　　　　⑤ 由①⑤得：，，，， 又∵， ∴ ， 即， 则存在实数，满足题设条件．