Question

已知定点，曲线C是使为定值的点的轨迹，曲线过点.

（1）求曲线的方程；

（2）直线过点，且与曲线交于，当的面积取得最大值时，求直线的方程；

（3）设点是曲线上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交曲线的长轴于点，求的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）和；（3）.

【解析】

试题分析：（1）依题意并结合椭圆的定义，先判断出曲线的轨迹是以原点为中心，以为焦点的椭圆，从而得出椭圆中参数的值，由计算出参数的值，最后由计算出的取值即可得到曲线的方程；（2）设点，联立直线与椭圆的方程，消去得到，从而由二次方程根与系数的关系得到，再由弦长公式计算出，再计算出点到直线的距离，由公式计算出三角形的面积（含参数），结合基本不等式可确定面积最大时的值，从而可确定直线方程；（3）设，由角平分线可得=，化简并代入坐标进行运算，即可得出，然后根据，可确定的取值范围.

试题解析：（1） 2分

曲线C为以原点为中心，为焦点的椭圆

设其长半轴为,短半轴为,半焦距为，则，

曲线C的方程为 4分

（2）设直线的为代入椭圆方程，得

，计算并判断得，

设,得

到直线的距离，设，则

当时，面积最大

的面积取得最大值时，直线l的方程为：

和 9分

（3）由题意可知：=,= 10分

设其中，将向量坐标代入并化简得：

m（， 12分

因为，所以， 13分

而，所以 14分

考点：1.轨迹问题；2.椭圆及其标准方程；3.直线与圆锥曲线的综合问题.