Question

【题目】设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减；

当时，在，上单调递减，在上单调递增.

（2）见解析

【解析】

（1）求出，令，，讨论的取值，判断的符号，从而可求出的单调性.

（2）由（1）得时，有两个极值点，设，则有且，整理，，令，，利用导数研究函数的单调性，可得，进而可得证

解：（1），

令，，

①当时，在上单调递减，

②当时，，由得，，

当时，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

③当时，，，∴在上单调递减，

④当时，，由得，

当或时，，

当时，，

∴在，上单调递减，

在上单调递增，

综上所述，

当时，在上单调递减，

在上单调递增；

当时，在上单调递减；

当时，在，上单调递减，

在上单调递增.

（2）由（1）得时，有两个极值点，设，

则有且，

∴

，，

令，，

，

令，则

，

∵，∴，，，

∴当时，，∴在区间单调递增，

∴，∴在区间单调递减，

∴，

综上，.