Question

【题目】如图，在直角梯形中，，，，，，点是线段的中点，将，分别沿，

向上折起，使，重合于点，得到三棱锥．试在三棱锥中，

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据勾股定理的逆定理，得出，而，根据线面垂直的判定定理证出平面，最后利用面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，根据空间坐标的运算可得出和平面的法向量，利用空间向量法求夹角的公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值．

解：（1）由题知：在直角梯形中，

，

所以在三棱锥中，，

所以，

又因为，，

所以平面， 又因为平面，

所以，平面平面.

（2）由（1）知：，，又，

以为坐标原点，以的方向分别作为轴，轴，轴的正方向，

建立如图空间直角坐标系，

所以，，，，

设为平面的法向量，

，，

由，可得，

令得：，

设直线与平面所成角为，所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.