Question

已知圆O：x²+y²=4，点P为直线l：x=4上的动点，
(1)若从P到圆O的切线长为2，求P的坐标以及两条切线所夹劣弧长；
(2)若点A(-2，0)，B(2，0)，直线PA、PB与圆O的另一个交点分别为M、N，求证：直线MN经过定点(1，0)。

Answer 1

解：根据题意，设P(4，t)，
(1)设两切点为C、D，则OC⊥PC，OD⊥PD，
由题意可知，，
即，解得t=0，
所以点P的坐标为(4，0)，
在Rt△POC中，易得∠POC=60°，所以∠DOC=120°，
所以两切线所夹劣弧长为；
(2)设M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，Q(1，0)，
依题意，直线PA经过点A(-2，0)，P(4，t)，
可以设直线AP的方程为和圆联立，得到，
代入消元得到，，
因为直线AP经过点A(-2，0)、M(x₁，y₁)，所以-2、x₁是方程的两个根，
所以有，
代入直线方程，得，
同理，设直线BP的方程为，联立方程有，
代入消元得到，
因为直线BP经过点B(2，0)、N(x₂，y₂)，所以2、x₂是方程的两个根，
所以有，
代入得到，
若，则，此时，，
显然M、Q、N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q(1，0)；
若x₁≠1，则t²≠12，x₂≠1，所以有
，
所以，所以M、N、Q三点共线，
即直线MN经过定点Q(1，0)；
综上所述，直线MN经过定点Q(1，0)。