Question

一条水渠的断面为等腰梯形(如图所示),在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小且这样可使水流阻力小且渗透少，求此时的高h和下底边长b.

Answer 1

解：由梯形面积公式，得S=(AD+BC)h,

其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b.

∴AD=h+b.

∴S=(h+2b)h=(h+b)h.                                 ①

∵CD=h,AB=CD,

∴l=h×2+b.                                                              ②

由①得b=,代入②,

∴l=h+h=h+.

∵l′=-=0,∴h=.

当h＜时，l′＜0;当h＞时，l′＞0.

∴当h=时，l取最小值，此时b=.