Question

已知双曲线C：的离心率为，且过点P（，1）

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（O为坐标原点），求k的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）（－1，－）（，1）.

【解析】（1）由题意得，又，解得，故双曲线方程为；（2）直线方程与双曲线方程联立消去得，根据题意需满足得.由，即＞2，由韦达定理和直线方程把用表示，得关于的不等式，求出，取交集得的取值范围是（－1，－）（，1）.　　

解：（1）由已知：

双曲线过点P（，1），

解得，，故所求的双曲线方程为　---------------------------------4分

（2）将代入得

由直线与双曲线C交于不同的两点得，　

即　　　　　　　　　　　　        　　①---------------------------------6分

设A（），B（），由得＞2

而＝＝

＝，于是　　        　　　　②---------------------------------8分

由　①②　　得　

故所求的的取值范围是（－1，－）（，1）　　---------------------------------10分