Question

【题目】设数列的前n项和为,且,

(1)求的值,并求出及数列的通项公式;

(2)设求数列的前n项和

(3)设在数列中取出(为常数)项,按照原来的顺序排成一列,构成等比数列.若对任意的数列,均有试求的最小值.

Answer 1

【答案】(1);;;;.(2)(3)最小值为.

【解析】

（1）分别取，以及代入，求出，猜想，用数学归纳法证明即可，利用，即可求出；

（2）通过（1）裂项可知，分为奇数和偶数两种情况讨论即可得出结论；

（3）由（1）可知，根据条件分析子列的公比范围，将问题转化为求首项为1，公比为的等比数列的前项和.

解:(1)当时,;

当时,;

当时,;

由此,猜测:

下面用数学归纳法证明:

(i)当时,结论显然成立;

(ii)假设当时,;

则当时,由条件,得

.

即当时,结论也成立.

于是,由(i),(ii)可知,对任意的,

均有.

当时,.

又,

于是数列的通项公式为:.

(2)因.

当n为奇数时,

当n为偶数时,

故

(3)因,由于数列的项子列构成等比数列,

设其公比为,则

.

因,且,

设(,且互质)

(i)当时,因,故

(ii)当时,因是数列中的项,

故.

从而

综合(i),(ii),得:在数列中的所有项等比子数列中,

其和最大的是:.

故由题意知:的最小值为.

另解(3):因,由于数列的项子列构成等比数列,

设其公比为,则.

因,且.

(i)当时,因,故

.

(ii)当时,因,故

综合(i),(ii),得:在数列中的所有项等比子数列中,

其和最大的是:,故由题意知:的最小值为.