Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F1、F2分别为椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，D(1，0)为线段OF2的中点，且.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若M为椭圆上的动点(异于A、B)，连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问题是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）－

【解析】

(1)∵＋5＝0，∴＝5.∴a＋c＝5(a－c)，化简得2a＝3c，故椭圆E的离心率为.

(2)存在满足条件的常数λ，λ＝－.点D(1，0)为线段OF2的中点，∴c＝2，从而a＝3，b＝，左焦点F1(－2，0)，椭圆E的方程为＝1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为x＝y＋1，代入椭圆方程＝1，整理得，y2＋y－4＝0.∵y1＋y3＝，∴y3＝.从而x3＝，故点P.同理，点Q.∵三点M、F1、N共线，∴，从而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．从而k2＝，故k1－＝0，从而存在满足条件的常数λ＝－