Question

【题目】设,在平面直角坐标系中，已知向量，向量，动点的轨迹为.

（1）求轨迹的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；

（2）已知,证明：存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点，且为坐标原点），并求该圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）方程，当时,该方程表示两条直线；当时,该方程表示圆；当时, 且时,该方程表示椭圆；当时,该方程表示双曲线；（2）．

【解析】

试题分析：

（1）要求轨迹方程，本小题用直接法求解，即把已知条件用数学式（用坐标）表示出来即可；

（2）本小题是证明题，涉及到圆与切线，直线与椭圆相交，因此设圆方程为，圆的切线方程为（斜率存在时）,切线与椭圆的交点为,关键是求出,由直线与圆相切可得,即，已知条件为，由直线方程与椭圆方程联立方程组，代入消元后可得，代入刚才的，可得关系，由此关系应该可求得，这时还需验证斜率不存在的圆的切线也满足题意．

试题解析：（1）,即,故,即.

当时,该方程表示两条直线；当时,该方程表示圆；当时,且时,该方程表示椭圆；

当时,该方程表示双曲线.

（2）当时,轨迹的方程为,设圆的方程为,当切线斜率存在时,可设圆的任一切线方程为,,所以,即.①

因为,即,整理得

.②

由方程组,消去得.③

由根与系数的关系得,

代入②式并整理得,即,结合①式有,当切线斜率不存在时,也满足题意,

故所求圆的方程为.