Question

已知数列{a_n}满足：，．

⑴求数列{a_n}的通项公式；      ⑵证明：

⑶设，且，证明：．

Answer 1

（1）（2）（3）见解析

解析:

：⑴由，得令，有

∴ ＝＝

又b₁＝2a₁＝2，    

∴∴           

⑵证法1：(数学归纳法)

1°，当n＝1时，a₁＝1，满足不等式     

2°，假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立

即，那么

即      又

由1°，2°可知，n∈N*，都有成立   

⑵证法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可参照给分)

∵，，∴

∵  ∵

∴  ∴当n＝1时，，综上

⑵证法3：  

∴{a_n}为递减数列   当n＝1时，a_n取最大值　　∴a_n≤1

由⑴中知　　  

综上可知

⑶欲证：即证   

即ln(1＋T_n)－T_n＜0，构造函数f (x)＝ln(1＋x)－x

∵当x＞0时，f ' (x)＜0

∴函数y＝f (x)在(0，＋∞)内递减∴f (x)在[0，＋∞)内的最大值为f (0)＝0

∴当x≥0时，ln(1＋x)－x≤0又∵T_n＞0，∴ln(1＋T_n)－T_n＜0∴不等式成立