Question

（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点.

（1）求证AC⊥BC₁；

（2）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值；

（3）求平面CDB₁与平面ABC的夹角的余弦值.

Answer 1

解：∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

       ∴AC，BC，C₁C两两垂直.

       如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，

       y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

       则C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），

       B₁（0，4，4），D（，2，0）. ………………2分

（1）

       ………………4分

（2）

      

       ∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为………………8分

（3）

设为平面CDB₁的法向量．

         由   得:    取 …………10分

                        

           又平面ABC的一个法向量．                       

           ∴．

所以平面CDB₁与平面ABC的夹角的余弦值是。…………12分