Question

【题目】已知函数 ．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在区间[10，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若函数 的真数为正，

则（ax﹣1）（x﹣1）＞0，

当a=1时，函数f（x）的定义域为{x|x≠1}；

当0＜a＜1时，函数f（x）的定义域为 ；

当a＞1时

（2）解： ，

函数f（x）在区间[10，+∞）上是增函数，

只需要 在区间[10，+∞）上是增函数，且大于零．

即当x1＞x2≥10时， 恒成立．

∵x2﹣x1＜0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，

∴k﹣1＜0即可．

在区间[10，+∞）上是增函数，

要使g（x）＞0恒成立，

只要 ，

∴

【解析】（1）若函数 的真数为正，则（ax﹣1）（x﹣1）＞0，分类讨论，可得不同情况下函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）在区间[10，+∞）上是增函数，只需要 在区间[10，+∞）上是增函数，且大于零恒成立，进而得到实数a的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的定义域及其求法和函数单调性的判断方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．