Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线L:（为参数），曲线（为参数）

（Ⅰ）设与相交于两点，求；

（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．

Answer 1

【答案】（1） (2)

【解析】

（I）把直线与曲线化为直角坐标方程，将直线l与曲线C1联立，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．

（II）根据伸缩变换得到曲线的参数方程，设曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．

（I）直线的普通方程为，的普通方程.

联立方程组，解得与的交点为，则；

（Ⅱ）曲线的参数方程为（为参数），故点的坐标为，

从而点到直线的距离是

由此当时，取得最小值，且最小值为.