Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．

（1）求和平面所成的角的大小．

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）推导出．又，从而平面．进而为和平面所成的角，由此能示出和平面所成的角的大小．

（2）推导出，从而平面，进而平面．过点作，垂足为，连接，则是二面角的平面角．由此能求出二面角的正弦值．

解：（1）在四棱锥中，∵平面，平面，

∴．又，，∴平面．

故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．

在中，，故．

所以和平面所成的角的大小为．

（2）在四棱锥中，∵平面，平面，∴．

由条件，，∴平面．

又∵平面，∴．由，，可得．

∵是的中点，∴．又∵，∴平面．

过点作，垂足为，连接，如图所示．

∵平面，在平面内的射影是，

∴．∴是二面角的平面角．

由已知∵，∴设，

则，，，．

中，．

在中，∵，∴，得．

在中，．

所以二面角的正弦值为．