Question

【题目】如图，直三棱柱中，侧面是正方形， 侧面， ，点是的中点.

（1）求证： //平面；

（2）若，垂足为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）如图，连结， 交于，连结，可证为的中位线，所以，因为面， 面，所以平面.

（2）由已知底面，得底面，得， ，又，故， ， 两两垂直，分别以， ， 所在直线为轴， 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面平面的一个法向量和平面的一个法向量，根据二面角的平面角为锐角，即可求得二面角的余弦值.

试题解析：

（1）如图，连结， 交于，连结，由是正方形，易得为的中点，从而为的中位线，所以，因为面， 面，所以平面.

（2）由已知底面，得底面，得， ，又，故， ， 两两垂直，

如图，分别以， ， 所在直线为轴， 为原点建立空间直角坐标系，

设，则， ， ， ， ，

则， ， ，

设， ，则由，

得，即得，

于是，所以，

又，所以，解得，

所以， ， ，

设平面的法向量是，则，即，

令，得.

又平面的一个法向量为，则，即，

令，得，

设二面角的平面角为，则，

由，面面，可知为锐角，

即二面角的余弦值为.